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MATEMATICAS GEOMETRICAS
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El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel cuadriculado.


Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h).


Fórmula: Área del rectángulo = base · altura A = b · h


Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la base AB.





Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura.


Fórmula: Área del paralelogramo = base · altura A = b · h


Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto:


Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c2


Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D.




Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC.


Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 · área del triángulo ABC


O bien,

Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2


Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del triángulo obtendremos:


Fórmula: Área del triángulo = base por altura dividido por 2 / A = b · h : 2
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Continuamos viendo cómo se calcula el área de las figuras planas. Veamos:


Para calcular el área de otros polígonos se dibujan las diagonales necesarias con el fin de que queden descompuestos en triángulos; después se calcula el área de estos triángulos y se suman los valores obtenidos.




Área = área triángulo 1 + área triángulo 2 + área triángulo 3 + área triángulo 4 + área triángulo 5.


Área del rombo: en el rombo, las dos diagonales, d y D, lo descomponen en cuatro triángulos iguales que tienen como base la mitad de una diagonal (base = b = d : 2 y como altura la mitad de la otra diagonal (altura = h = D : 2).





La superficie de cada uno de los triángulos será:


A = (base . altura) : 2 = (d:2).(D:2) : 2 = d · D : 8


Y, en consecuencia, el área del rombo será el área de uno de estos triángulos multiplicada por 4:


Área del rombo = 4 · área del triángulo = 4 · (d · D) : 8 = (d · D) : 2


Área del trapecio: considera un trapecio ABCD de base AB. Se acostumbra a denominar bases a los lados paralelos del trapecio. El lado más grande de los dos será la base mayor, que representaremos por B, y el otro la base menor, que representaremos con b.





La diagonal divide el trapecio en dos triángulos: ABC, de base AB, y ACD, de base DC. Ambos triángulos tienen la misma altura que el trapecio. El área del trapecio será la suma de las áreas de los dos triángulos. El triángulo ABC tiene como base la mayor del trapecio y su altura es la del trapecio; el triángulo ACD tiene como base la menor del trapecio y su altura es la del trapecio.


Área del trapecio = (B · h) : 2 + (b · h) : 2 = (B · h + b · h) · 2 = (B + b) · h : 2 =

(B + b : 2) · h


Fórmula que se suele enunciar así: el área del trapecio es igual al resultado de multiplicar la semisuma de las bases por la altura.


Área de los polígonos regulares: consideremos diversos polígonos regulares, como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido. Si unimos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.





Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado (c), y su altura es la apotema del polígono (a). El área de estos triángulos será:


Fórmula: Área del triángulo = (c · a) : 2


Por lo tanto, el área del polígono regular será el resultado de multiplicar esta área por el número de triángulos que se han formado. A (polígono) = número de lados · área del triángulo.


Área polígono regular de n lados = n· (c·a :2) = (n·c·a) : 2 = ((n · c) : 2)· a


Cn es el perímetro del polígono y, como ya hemos dicho que se acostumbra a representar con la p la mitad del perímetro (semiperímetro), tendremos que

(c · n) : 2 = p, y podemos formular:


Área del polígono regular = semiperímetro por apotema = p · a


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